Аппроксимация экспериментальных данных

Исследовать характер изменения с течением времени уровня производства некоторой продукции и подобрать аппроксимирующую функцию, располагая следующими данными:

Год Производство продукции

1997 17,1

1998 18,0

1999 18,9

2000 19,7

2001 19,7

Решение

1 Для построения диаграммы, прежде всего, необходимо ввести данные в рабочую таблицу. Вводим в ячейку А1 слово Год. Затем в ячейки А2:А6 последовательно вводим годы, начиная с 1997. Далее в ячейку В1 заносим слово Продукция и устанавливаем табличный курсор в ячейку 82. Здесь должно оказаться значение 17,1 соответствующее значению года в ячейке А2. Аналогично заполняем ячейки ВЗ:В6.

2 Далее по введенным в рабочую таблицу данным необходимо построить диаграмму. Поскольку здесь необходимо строить динамику изменений производства продукции, не привязываясь к конкретному году, а от отвлеченных переменных — выберем диаграмму График.

Щелчком указателя мыши на кнопке на панели инструментов вызываем Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне выбираем тип диаграммы График, вид — левый средний. После нажатия кнопки Далее указываем диапазон данных — В1:Вб (с помощью мыши). Проверяем положение переключателя Ряды в: столбцах. Выбираем вкладку Ряд и с помощью мыши вводим диапазон подписей оси X: А2:А6. Нажав кнопку Далее, вводим название диаграммы — Производство продукции, название осей X и У: Годы и Условные единицы, соответственно. Нажимаем кнопку Готово.

Получен график экспериментальных данных.

3. Осуществим аппроксимацию полученной кривой полиномиальной функцией второго порядка, поскольку кривая довольно гладкая и не сильно отличается от прямой линии. Для этого указатель мыши устанавливаем на одну из точек графика и щелкаем правой кнопкой. В появившемся контекстном меню выбираем пункт Добавить линию тренда. Появляется диалоговое окно Линия тренда (рис. 1).

Рис. 1. Вкладка Тип диалогового окна Линия тренда

В этом окне на вкладке Тип выбираем тип линии тренда — Полиномиальная и устанавливаем степень — 2.

Затем открываем вкладку Параметры (рис. 2) и устанавливаем флажки в поля показывать уравнение на диаграмме и поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^{^}2). После чего нужно щелкнуть на кнопке ОК.

Рис. 2. Вкладка Параметры диалогового окна Линия тренда

В результате получим на диаграмме аппроксимирующую кривую (рис. 3).

Рис. 3Экспериментальные данные, аппроксимированные полиномиальной кривой

Как видно из рис. 3, уравнение наилучшей полиномиальной аппроксимирующей функции для некоторых отвлеченных значений х (1, 2, 3, ...) выглядит как

При этом точность аппроксимации достаточно высока — R² = 0,986.

4. Попробуем улучшить качество аппроксимации выбором другого типа функции (возможно более адекватного). Здесь возможным вариантом представляется логарифмическая функция. Для этого повторяем операции п. 3. за исключением того, что в окне Линия тренда на вкладке Тип выбираем тип линии тренда — Логарифмическая.

В результате получим другой вариант аппроксимации — логарифмической кривой (рис. 4).

Рис. 4. Экспериментальные данные, аппроксимированные логарифмической кривой,

Как можно видеть из рис. 4, уравнение наилучшей логарифмической аппроксимирующей функции несколько уступает по точности аппроксимации полиномиальной кривой — R² = 0,9716 < 0,986. Поэтому если нет каких-либо теоретических соображений, то можно считать, что наилучшей аппроксимацией является аппроксимация полиномиальной функцией второй степени (из двух рассмотренных вариантов).

Замечание