МЕТАМОДЕЛИРОВАНИЕ И ВЫЧИСЛИМОСТЬ

"Непостижимая эффективность" математики ставит вопросы о причинах и границах ее эффективности в естествознании и технике, возможностях и перспективах математизации гуманитарного знания.

Ответы на эти вопросы неотделимы от глубокого понимания:

• ее моделей (объектов и методов)

• ее метамоделей (языков, задающих способы обоснования и доказательства утверждений).

Вычислительные методы математики обострили эту проблематику.

Принципиальная проблеема вычислительной математики — приближенная вычислимость (возникает в связи с неустранимостью погрешности исходных данных и конечной точностью машинного счета).

Проблемы вычислимости прошли ряд качественно различных этапов:

1. Ошибочно предполагалось, что переход к решению практических задач при наличии сколь угодно высокой (конечной) точности данных и вычислений принципиально не меняет сути дела и не ведет к возникновению новых проблем в постановке и решении задачи.

2. В 1923 году Жаком Адамаром (1865-1963) рассмотрена краевая задача для гравитационного потенциала, где сколь угодно малые вариации граничных условий приводили к сколь угодно большим изменениям решения.

Задачи подобного типа ошибочно признавались в течение 20 лет "некорректной" и не имеющей физической интерпретации!

Ошибка оказалась обусловленной ограниченностью классических моделей решения, а не дефектами математической модели подобных явлений.

Данные задачи в геологии, планетологии, биохимии, экономике, астрофизике и проч.

Рентгеновская томография основана на математической обработке (решении некорректной задачи) получаемой информации. Основную часть стоимости томографов составляет именно математическое обеспечение.

3. В 1963 году Академик Андрей Николаевич Тихонов предложил общий метод нахождения приближенного решения некорректных задач (метода регуляризации), который позволил строить алгоритмы вычисления приближенного решения некорректной задачи с любой заданной точностью.

Ошибочно считалось, что такой алгоритм может быть построен для любой некорректной задачи.

4. Решение проблемы (потребовавшее использование нового языка (метамодели)  - языка дескриптивной теории функций (одной из наиболее абстрактных областей современной математики)

Класс регуляризуемых некорректных задач точно описан в 1971 году на языке дескриптивной теории функций (одной из наиболее абстрактных областей современной математики)

Дескриптивная теория функций возникла из ответа на вопрос:

• какими свойствами обладает класс функций, являющихся пределом последовательности непрерывных функций?

Оказалось, что пределом последовательности непрерывных функций является в общем случае функция разрывная, то есть при каком-то значении аргумента скачкообразно меняющая свое значение.

Теорема о приближенной вычислимости: Разрывные функции высших классов (выше, чем 1-й, имеющие "слишком много" точек разрыва) в принципе не могут быть регуляризованы и приближенное вычисление таких функций практически неосуществимо.

Обнаружена глубинная связь невычислимости с основаниями математики, с системами аксиом теории множеств:

• ZFC+CH+AM  (система аксиом Цермело — Френкеля с аксиомой выбора, отрицанием континуум-гипотезы и аксиомой Мартина)

• ZFC+CH (система аксиом Цермело — Френкеля с аксиомой выбора и континуум-гипотезой).

Это свидетельство глубокого внутреннего единства математического знания, взаимосвязи далеко друг от друга отстоящих на первый взгляд областей математики.

Широкий класс функций принципиально нерегуляризуем и проблема приближенной вычислимости в нем неразрешима:

с какой бы высокой (конечной) точностью мы ни задавали исходную информацию, отклонение от точного решения (ошибка), не может быть меньше некоторой фиксированной величины.

Со сколь бы высокой точностью ни проводились вычисления, существенная погрешность решения неустранима.

Выводы:

• при решении всякой математической задачи, мы имеем дело непосредственно не с интересующим нас реальным объектом, а с некоторой его идеализированной моделью.

• Способ задания исходных данных, также являющийся одной из характеристик этой модели, определяет тот тип информации, который в этих данных содержится.

• информация не любого, а лишь определенного типа может быть получена из решения некорректной задачи при определенном способе задания исходных данных.

Само понятие регуляризуемости не имеет абсолютного характера и что в одних типах математических пространств задача может быть нерегуляризуемой, а в других — регуляризуемой.

Это происходит потому, что переход от одних типов пространств к другим приводит к изменению тех требований, которые налагаются на информацию, содержащуюся в приближенных исходных данных и приближенном результате решения.

Теорему о приближенной вычислимости можно рассматривать как конструктивное описание той информации, которую можно извлечь в процессе решения задачи из информации, содержащейся в приближенных исходных данных.

Проблема невычислимости есть проблема отношения явлений реального мира и тех идеализированных моделей, которые создаются в процессе научного исследования.

Упрощенное понимание этого отношения неизбежно ведет к ошибкам.

Ошибочно и наивное отождествление научных моделей, их свойств и отношений со свойствами и отношениями реальных объектов.

Теорема не ограничивает сферу компьютинга, но сужает свободу выбора (построения) математической модели изучаемого явления - этот выбор должен удовлетворять требованию приближенной вычислимости, поскольку в случае невыполнения этого требования из модели не удастся извлечь практически полезной информации.

Юрий Иванович Манин Вычислимое и невычислимое

В. А. Винокуров "Вычислимое и невычислимое в вычислительной математике"