ЛОГИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КЛ

 

 

История математики

Академиком А. Н. Колмогоровым предложена структура истории математики:

  • Период элементарной математики VI в до н. э. - XVII века;

  • Период высшей математики (исчислений) XVII—XVIII века;

  • Период современной математики — математики XIX—XX века

 

 

Современная математика

 

А.Н. Колмогоров:

  • Математикам пришлось отнестись к процессу расширения предмета математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм

  • современная математика - период постановки вопросов "обоснования" математики, критического переосмысления ее исходных понятий и положений (аксиом), построения строгой системы определений и доказательств, критического рассмотрению логических приемов, употребляемых при этих доказательствах.

Глубокий анализ логической строгости доказательств, алгоритмической разрешимости и неразрешимости математических проблем составляет предмет математической логики.

Самая суть:

  • КАКИЕ ВОПРОСЫ (ЗАДАЧИ) ИМЕЮТ СМЫСЛ?

  • КАК ПОЛУЧАТЬ ОТВЕТЫ

  • КАКИЕ ВОПРОСЫ (ЗАДАЧИ) ИМЕЮТ ОТВЕТЫ (РЕШЕНИЯ) НА ДАННОМ ЯЗЫКЕ?

 

 

kmp рекомендует

Николя́ Бурбаки́ (коллективный псевдоним, 1935).

Цель: написание серии книг, отражающих современное состояние математики на основе теории множеств Цермело-Френкеля (в доработке Бернайса и Гёделя).

Расцвет 1950—1960-е года. Кризис после Парижской весны 1968.

Книги стали выходить реже, участвуют учёные более низкого ранга.

Последний выпуск - глава 10 «Коммутативной алгебры», 1998.

Юрий Манин:

  • Бурбаки – это было не обоснование математики, это была выработка единого языка математики, на котором могли разговаривать вероятностник, тополог, специалист по теории графов, логик. 

В первом переводе Н. Бурбаки на русский язык в качестве эпиграфа был приведен афоризм Лейбница: Цель математики в том, чтобы заменить идеи вычислениями.

В дальнейших переводах Н. Бурбаки была признана ошибка первого перевода и утверждалось, что правильный перевод Лейбница таков: цель математики состоит в том, чтобы заменить вычисления идеями.

 

 

Математика = логика

Бертран Артур Уильям Рассел (1872 - 1970) в соавторстве с Альфредом Нортом Уайтхедом издает «Начала математики» (1910—1913), где доказывает соответствие принципов математики принципам логики и возможность определения основных понятий математики в терминах логики.

Вклад Рассела в математическую логику является наиболее значительным и фундаментальным со времен Аристотеля.

Свою философскую позицию Рассел определял под влиянием Людвига Витгенштейна, поскольку «картина мира» есть совокупность логических высказываний.

 

 

 

Лингвистический поворот

Лингвистический поворот нашел выражение в лингвистической философии Витгенштейна ("Логико-философский трактат"), феноменологии Гуссерля ("Логические исследования"), фундаментальной онтологии Хайдеггера.

Людвиг Витгенштейн :

  • Границы моего мира суть границы моего языка.

  • О чем невозможно говорить, о том следует молчать

Суть ЛП:

  • рассмотрение языка как предельного онтологического основания, единой (и единственной) структуры действительности (отказ от онтологической и гносеологической проблематики, критика понятия субъекта), глобализация смысла и значения, замена парадигмы истинности.

  • понимание языка как источника заблуждений и философских проблем, как нечто не подлинное и противопоставление ему языка, упорядоченного в соответствии с законами логики, верифицированный в соответствии с фактами

  • коммуникативная функция языка имеет главное значение, функция репрезентации - производная от нее.

  • квазисубъект познания - надындивидуальная языковая игра (концепция «языковых игр» как правил, складывающихся в процессе человеческой деятельности и выражающих принципы жизни человека в целом), производящая "картину мира" - эпистемическую очевидность, предпосылочную и первичную по отношению ко всем рациональным представлениям индивидуального сознания.

Самая суть:

  • Если слово «реальность» не является самой реальностью, то о чем мы говорим, когда говорим «реальность».

 

 

 

Математика - языковая наука!

Поскольку логика изучает формы мышления, а мышление неразрывно связано с языком, постольку логика является также наукой о языке.

Формальная логика использует знаки-символы. В языке формальной логики нет омонимов и неясных выражений. Это позволяет строго фиксировать ход рассуждений и точно решать вопрос об их правильности или неправильности.

В логике различают

  • язык логики высказываний

  • язык логики предикатов.

Язык логики высказываний используется для описания структуры высказываний, рассуждений, предложений.

Высказывания - простые или сложные абстрактные символические выражения, обозначающие суждения.

Простые высказывания, объединенные в сложные с помощью связок «и», «или», «если.., то» и др., называют пропозициональными высказываниями, а логику высказываний, с помощью которой описываются и исследуются такие высказывания, называют пропозициональной логикой, пропозициональным исчислением, алгеброй высказываний. 

Логика высказываний может быть классической (двузначной) или многозначной.

 

 

Алгебраические системы

Алгебра  — раздел математики, изучающий алгебраические системы.

Алгебраическая система — множество (носитель) с заданным на нём набором операций и отношений (сигнатура), удовлетворяющим некоторой системе аксиом.

Алгебраическая система с пустым множеством отношений называется  — алгебра, система с пустым множеством операций называется — модель.

Множество - вырожденная алгебраическая система с пустым набором операций и отношений

Примеры алгебраических структур:

  • числа

    моноиды

  • группы

  • кольца и поля

  • модули и векторные пространства

  • ассоциативные алгебры и алгебры Ли

  • решётки и булевы алгебры и др...

 

 

Числа

 

Число — абстракция, используемая для количественной характеристики и нумерации объектов.

Письменными знаками (символами) для записи чисел служат цифры.

  • Натуральные числа, получаемые при естественном счёте; замкнуты относительно сложения и умножения (но не вычитания или деления).

  • Целые числа (Н с множеством отрицательных чисел и нулём). замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения (но не деления).

  • Рациональные числа (m/n (n≠0), где m — целое число, а n — натуральное число. замкнуты уже относительно всех четырёх арифметических действий

  • Действительные (вещественные) расширение множества рациональных чисел, замкнутое относительно некоторых (важных для математического анализа) операций предельного перехода.

  • Иррациональные числа, не представимые в виде отношения целых.

  • Комплексные числа , являющиеся расширением множества действительных чисел. подразделяются на алгебраические и трансцендентные.

  • Кватернионы представляющие собой разновидность гиперкомплексных чисел. в отличие от комплексных чисел не коммутативны относительно умножения.

  • Октавы , являющиеся расширением кватернионов, теряют свойство ассоциативности.

  • Седенионы не обладают свойством альтернативности, но сохраняют свойство степенной ассоциативности.

  • p-адические числа можно рассматривать как элементы поля

  • Аде́ли определяются как бесконечные последовательности. Складываются и умножаются адели покомпонентно и образуют кольцо. Обратимые элементы этого кольца образуют группу и называются иде́лями....

 

 

 

Вычисления

Многие математики начала века были озабочены идеей исключения всех возможных математических ошибок путем создания алгоритма для установления истины.

Однако математик Курт Гедель доказал свои так называемые теоремы о неполноте (теоремы Геделя, 1931, 1934), из которых, в частности, следует, что любая математическая теория является неполной, поскольку должны существовать теоремы, истинность которых не может быть доказана в пределах данной теории.

Под воздействием идей Геделя английский математик Тьюринг начал разрабатывать алгоритмический метод, способный определить, является ли данная задача не имеющей решения с целью исключить такие задачи из математики.

Теория вычислимости берёт свое начало от диссертации Алана Тьюринга (1936), в которой он ввел понятие абстрактной вычислительной машины, получившей впоследствии его имя, и доказал фундаментальную теорему о неразрешимости задачи о её остановке.

Для любого "вычислимого" процесса такая машина может быть построена; она когда-нибудь остановится и выдаст (однозначное!) решение. Для "невычислимых" процессов, однако, не факт, что машина не остановится или решения не существует, просто априорно это доказать с помощью одних только исходных предпосылок невозможно.

Наиболее известные систем вычислимости (из большого множества):

  • машины Тьюринга (1936),

  • рекурсивные функции Чёрча (1936),

  • комбинаторные процессы Поста (1936),

  • нормальные алгоритмы Маркова (1951).

 

 

 

Теория моделей

Теория моделей — раздел математической логики, изучающий связи между формальными языками и их моделями (интерпретациями).

Теория моделей  — раздел математической логики, изучающий связи между синтаксисом (формальным языком) и семантикой (математической моделью,  допускающей некоторое описание этим языком.

Автор термина "теория моделей" (1954) - Альфред Тарский (Alfred Tarski, 1901-1983, математик, логик, основатель формальной теории истинности).

Теория моделей возникла в середине 20 века как обобщение существующих подходов решения проблем математической логики, универсальной алгебры, теория множеств.

Тысячелетия математикам не удавалось доказать истинность постулата Евклида о параллельности.
Неэвклидовы геометрии показали, что постулат параллельности не может быть ни доказан, ни опровергнут.
В теории моделей это означает, что система аксиом без пятого постулата допускает несколько различных моделей (реализаций) геометрии.

 

Важнейшими инструментами теории моделей являютсятся:

  • Теорема компактности (доказана Мальцевым Анатолием Ивановичем, советским математиком)

    • множество формул первого порядка имеет модель тогда и только тогда,
      когда модель имеет каждое конечное подмножество этого множества формул.

  • Теорема Лёвенгейма — Скулема о понижении мощности

    • если множество предложений в счётном языке первого порядка имеет бесконечную модель, то оно имеет счётную модель

  • Теорема Лёвенгейма — Скулема о повышеннии мощности

    • если множество предложений счётного языка первого порядка имеет бесконечную модель, то оно имеет модель произвольной бесконечной мощности

Следствие из теоремы компактности: некоторые понятия не являются выразимыми в логике первого порядка.

Теоремы теории моделей применяются для конструирования нестандартных моделей классических теорий (элементарной арифметики, математического анализа и др.).

Для изучения:

Для продумывания:

  • Условия и предпосылки применения Теорем теории моделей в лингвистическом моделировании.

 

 

Модальная логика

Модальная логика — логика, в которой кроме стандартных логических связок (переменных и предикатов) есть модальности (модальные операторы).

Модальность (от лат. modus — размер, способ, образ) - категория, характеризующая способ действия или отношение к действию

Понятие модальность пришло из классической формальной логики заимствовано лингвистикой, где модальность:

  • семантическая категория, выражающая отношение говорящего к содержанию его высказывания, целевую установку речи, отношение содержания высказывания к действительности. Модальность является языковой универсалией, принадлежит к числу основных категорий естественного языка

Наиболее распространены:

  • временны́е модальности («когда-то в будущем», «всегда в прошлом», «всегда» и т. д.)

  • пространственные модальности («здесь», «где-то», «близко» и т. д.).

 

 

 

Алгебра высказываний

Алгебра логики (алгебра высказываний) - раздел математической логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.

Идею о возможности математизации логики высказал еще в XVII веке Г.В.Лейбниц.

Он пытался создать универсальный язык, с помощью которого каждому понятию и высказыванию можно было бы дать числовую характеристику и установить такие правила оперирования с этими числами, которые позволили бы сразу определить, истинно данное высказывание или ложно. То есть споры между людьми можно было бы разрешать посредством вычислений. Идея Лейбница оказалось ложной, так как невозможно (не найдены способы) свести человеческое мышление к некоторому математическому исчислению.

Однако, подлинный прогресс этой науки был достигнут в середине XIX века прежде всего благодаря трудам Дж.Буля "Математический анализ логики". Он перенес на логику законы и правила алгебраических действий, ввёл логические операции, предложил способ записи высказываний в символической форме.

В трудах Дж.Буля и Д.Моргана математическая логика оформилась как своеобразная алгебра - алгебра логики (или алгебра высказываний).

В развитии математической логики приняли участие выдающиеся математики и логики конца XIX и XX веков, в том числе К.Гедель (австр.), Д.Гильберт (нем.), С.Клини (амер.), Э.Пост (амер.), А.Тьюринг (анг.), А.Чёрч (амер.), А.Н.Колмогоров, П.С.Новиков, А.А.Марков и многие другие.

Современная математизированная формальная логика находит широкое применение как внутри математики (исследование оснований математики), так и вне ее (автоматическая обработка текста и речи, теоретическая информатика, искусственный интеллект).

 

 

 

Алгоритм решения логических задач
при помощи алгебры высказываний

 

  1. внимательно изучить условие;

  2. выделить простые высказывания и обозначить их латинскими буквами;

  3. записать условие задачи на языке алгебры логики;

  4. составить конечную формулу, для этого объединить логическим умножением формулы каждого утверждения, приравнять произведение единице;

  5. упростить формулу;

  6. проанализировать полученный результат;

  7. найти по таблице истинности значения переменных;

  8. проанализировать результаты.

 

 

Алгоритм построения таблицы истинности

 

  1. подсчитать количество переменных n в логическом выражении;

  2. определить число строк в таблице по формуле m=2n, где n - количество переменных;

  3. подсчитать количество логических операций в формуле;

  4. установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;

  5. определить количество столбцов: число переменных + число операций;

  6. выписать наборы входных переменных;

  7. провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в пункте 4 последовательностью.

 

 

 

Логическое мышление

 

Логика - необходимое условие решения научных, технических, информационных задач.

Логика важна практически во всех жизненных ситуациях с технологическом обществе.

Логика позволяет грамотно выстраивать речь, суждения и умозаключения.

Логика является инструментом обоснования, осмысления и оценки окружающиго мир и самого себя.

 

Наука логики изучает методы достижения истины, исключающие чувственный опыт и основанных исключительно на рациональных правилах вывода из некоторых основных положений (аксиом).

Основная функция логики - исследовать утверждения и правила умозаключений.

 

 

kmp рекомендует: Г.В.Ф. Гегель Наука логики

 

 

 

Самонадеянность

Математика, в отличие от лингвистики, достигла огромных успехов и решила, что обойдется без нее.

МАТЕМАТИКИ - гростмейстеры и мастера. Лингвисты - не знают теории игры - шахматной композиции, задач, этюдов.... этапов партии, взаимодействия фигур, только ходы.... Филологи-лингвисты - даже ходов фигур не знают (как ходят фигуры), просто видят клетки и фигурки... - они вовсе не играют, сочиняют сказки...

И обошлась, но только в области конлангов...

 Если все просчитывать - просчитаешься...

 

 

 

Человек и логика

 

Общепринято, что логическое мышление не является врожденным качеством людей.

Логика приобретается человеком в процессе его социализации в технологическом обществе и специального обучения.

Абсолютное большинство людей неосознанно уклоняется от развития логического мышления, стремясь думать спонтанно (так, как им кажется проще и комфортнее).

 

Логические умозаключения могут противоречить нравственности и праву.  

Логическое мышление может стать основанием для совершения антигуманных поступков.

 

Развитие собственной логики возможно только в личном опыте рационального мышления (посредством специального чтения, аргументации в коммуникации (научных спорах), рефлексии над своими умозаключениями и языковыми средствами, решения логических задач и участии в логических играх).

 

 

kmp