Числа делятся на четные, нечетные и почетные. К последним относятся зачастую мнимые числа.
Числа и цифры
Компьютер обрабатывает информацию представленную в числовой форме.
Число- математическая абстракция, используемая для количественной характеристики объектов.
Цифры — знаки для записи чисел.
Примеры цифр:
0 1 (двоичные цифры),
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (арабские цифры),
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F(шестнадцатеричные цифры),
I V X L C D M (римские цифры).
Числа строятся из цифр как слова из букв.
"Число" и "цифра": история слов
Число и цифра различаются по значению и происхождению.Число — единица счёта, выражающая количество (один дом, два дома, три дома и т.д.). Цифра — знак (символ), обозначающий значение числа.
***
Считали конкретные предметы: семь быков, две рыбы. Счёт вели на пальцах. В разговорной речи до сих пор услышишь: «Дай пять!» (подай руку). Говорили: «Дай пясть!» Слово пять имело конкретное значение — пять пальцев пясти (руки).
Числа на письме обозначали буквами. У славян буква А означала число «один» (Б не имело числового значения), В — два, Г — три, Д — четыре, Е — пять.
Во многих языках (древнегреческом, иврите, церковнославянском и др.) цифры и сейчас записываются буквами.
Не сразу стали осознавать, что числа независимы от предметов и лиц, которые подвергаются счёту: просто
число «два» или число «семь».
Появилось слово
число. В значении «счёт, величина, количество» его начали употреблять в русском языке с ХI века. Слово число использовали и для указания на дату, год. С ХIII века слово число стало обозначать ещё и дань, подать.
Наряду со словом число имело хождение существительноечисмя (прилагательное чисменый). В ХVI веке появился глагол числити — «считать».
В ХV веке в европейских странах получили распространение арабские цифры: специальные знаки для обозначения чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Их изобрели индийцы, а в Европу они попали благодаря арабам.
В русский язык (из европейских языков) пришло слово
цифра. Арабское по происхождению («сыфр»), оно первоначально означало - нуль, пустое место.
Леонардо Пизанский (1228) употребил для передачи арабского термина «сифр» слово zephirum (латинское слово zephyrus — зефир означало западный ветер).
Другой главный поборник индийской нумерации в Европе, Иордан Неморарий (1237), употребляет арабскую форму cifra.
С начала XVI века в немецких руководствах «нуль» входит в повсеместное употребление, а слово «цифра» получает современное значение .
В ХVIII в. слово цифра приобрело новое значение — знак числа. Совокупность цифр называлась цыфирь.
В наши дни слова число и цифра употребляются и в других значениях. Каких?
В разговорной речи слова число и цифра часто заменяют друг друга.
Слово количество (в русском языке с XI в.) образовано от старославянского слова колико — «сколько». Количество употребляется в применении ко всему, что поддаётся счёту и измерению.
Понятие системы счисления
Система счисления - способ записи чисел с помощью специальных знаков (цифр).
В основе всякой системы счисления лежит следующий принцип: некоторое определенное число единиц составляет одну единицу следующего высшего разряда.
Это число называется основанием системы счисления:
q=2 двоичная СС;
q=3 троичная СС;
q=10 десятичная СС;
q=12 двенадцатеричная СС;
….
q=60 шестидесятеричная СС и т.д.
Классификация систем счисления
Позиционные
Непозиционные
Вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.
Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения:
700+50+7+0,7==7*102+5*101+7*100+7*10-1=757,7
Значение каждой цифры зависит от ее положения (позиции) в числе.
В непозиционных системах вес цифры (т.е. вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа.
Так в римской СС в числе XXXII (32) вес цифры X в любой позиции равен просто десяти.
Значение цифры не зависит от места (позиции) в числе.
Запись чисел в разных системах счисления
Десятичная
Двоичная
Восьмеричная
Шестнадцатеричная
0
0
0
0
1
1
1
1
2
10
2
2
3
11
3
3
4
100
4
4
5
101
5
5
6
110
6
6
7
111
7
7
8
1000
10
8
9
1001
11
9
10
1010
12
А
11
1011
13
B
12
1100
14
C
13
1101
15
D
14
1110
16
E
15
1111
17
F
16
10000
20
10
17
10001
21
11
Системы счисления в компьютере
В компьютере чаще всего используется двоичная система счисления (все числа представлены с помощью только двух цифр: 0 и 1).
Один двоичный разряд (0 или 1) принят за единицу информации бит.
Восемь бит составляют один байт.
Для решения ряда задач используются восьмиричная система счисления(цифры 0, 1,...7) и шестнадцатеричная (кроме привычных 0,…9 в качестве цифр используются буквы A,B,C,D,E,F).
Ввод и вывод числовой информации осуществляется в удобной человеку десятеричной системе счисления, а их преобразование производит компьютер под управлением программ по специальному алгоритму.
Алгоритм преобразования:
При переводе десятичного числа в систему с основанием q (q = 2,8,16) его необходимо последовательно делить на q до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный q-1.
Число с основанием q записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего.
Для перевода чисел из одной системы счисления в другую удобно использовать стандартную программу Калькулятор (Вид:
Программист).
Запуск: Программы/Стандартные/Калькулятор.
.
Hex - шестнадцатеричная система счисления
Dec - десятеричная система счисления
Oct - восьмеричная система счисления
Bin - двоичная система счисления
Важное число 0
Ноль (нуль) (от лат. nullus — никакой) — название цифры в стандартных системах исчисления, а также математический знак, выражающий отсутствие значения данного разряда в записи числа в позиционной системе счисления.
Индийцы называли знак, обозначающий отсутствие какого-либо разряда в числе, словом «сунья», (пустой). Арабы перевели это слово по смыслу и получили слово «сыфр».
Первое достоверное свидетельство о записи нуля относится к 876 г. в Гвалиора (Индия). Индийцы вначале обозначали нуль точкой.
Термин nulla figura — никакой знак — появляется в рукописных латинских переводах и обработках арабских трудов в XII века.
Майя использовали ноль в своей двадцатиричной системе счисления почти на тысячелетие раньше индийцев. Первая сохранившаяся стела с датой календаря майя датируется 7.16.3.2.13, 6 Бен 16 Шуль (10 декабря 36 года до н. э.). Тем же самым знаком майянские математики обозначали и бесконечность.
В империи Тауантинсуйу, инки для записи числовой информации использовали узелковую система кипу, основанная на позиционной десятиричной системе счисления. Цифры от 1 до 9 обозначались узелками определённого вида, ноль — пропуском узелка в нужной позиции. В современном кечуа ноль обозначается словом кечуа ch'usaq (букв. «отсутствующий», «пустой»).
Слова ноль и нуль равноправны, но в некоторых устойчивых выражениях не взаимозаменяемы. Только нуль в выражениях: остричь под нуль; быть равным нулю; на улице на нуле; на нуле кто-что-нибудь, с нуля начинать (начать); сводить (сводиться); свести (свестись) к нулю; довести (доводить) до нуля; Тольконоль в выражениях: ноль-ноль, ноль внимания, ноль без палочки
Нуль и ноль в выражениях: абсолютный нуль (чаще о человеке) и абсолютный ноль (термин). Прилагательные нолевой и нулевой закреплены в устойчивых выражениях: нулевое окончание, нулевая стрижка.
Важное число π
Математическая константа ПИ ( 3.141592653589... ), выражающая отношение длины окружности к длине ее диаметра, является иррациональным числом, десятичное представление которого никогда не заканчивается и не является периодическим.
20.08.2009 Ученые из (Япония) установили рекорд точности вычисления числа ПИ: 2576 980 377 524 десятичных разрядов. Вычисления проводились на суперкомпьютере T2K Tsukuba System, оборудованном 640 процессорами Opteron с четырьмя ядрами, обеспечивающими суммарную производительность до 95 триллионов операций с плавающей запятой в секунду. На расчеты числа ушло 73 часа 36 минут.
11.01.2010 Француз Фабрис Белларза 103 дня вычислил число Пи с точностью - 2 699 999 990 000 на домашнем компьютере. Сначала Пи рассчитывалось в двоичной системе, после чего переводилось в десятичную. На это ушло около 13 дней. Для хранения всех цифр требуется 1,1 терабайта дискового пространства.
05.08.2010Американский студент Александр Йи (Alexander Yee) и японский исследователь Шигеру Кондо (Shigeru Kondo) рассчитали Пи с точностью в 5 триллионов цифр после запятой использовав специальное программное обеспечение и компьютер под управлением Windows Server 2008 R2. На расчёты ушло 90 дней.
14 марта - неофициальный праздник День числа ПИ (в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14, что соответствует приближенному значению константы).
Перед зданием Музея искусств в Сиэтле (США) установлен памятник числу ПИ.
Пи и e (основание экспоненты) являются трансцендентными числами, то есть не являются корнями никакого многочлена с целыми коэффициентами. При этом, однако, является ли сумма этих двух фундаментальных констант трансцендентным числом или нет - неизвестно до сих пор.
Pi Day Challenge 2011 — ежегодно обновляющаяся серия загадок, связанных с числом Пи.
Перевод числа Пив музыку
Американский музыкант
Майкл Блейк
(Michael
Blake)
перевел
числа Пи
и Тау (удвоенное Пи) на музыку. Блейк присвоил нотам от одной октавы до следующей
октавы номера от 1 до 8, затем взял запись числа с точностью до 126 знака
после запятой и проиграл ее в соответствии с выбранной кодировкой нот. Далее
музыкант аранжировал получившуюся мелодию.
Вkmp-mediaможно послушать мелодии чиселПи
(файл Translation of Tau.mpg4)
и
Тау
(файл Translation of
Pi.mpg4).
У Brainfuck множество диалектов практически на все случаи жизни, диалект Pi среди них тоже есть. Команды языка записываются в число Пи в виде неправильных цифр в случайных разрядах следующим образом.
Для каждой команды выбирается разряд, в который она будет записана (разряды упорядочены так же, как команды в исходном коде). Берется таблица соответствия команд и цифр
< > + — . , [ ] 0 1 2 3 4 5 6 7 8
и в ней строка команд сдвигается на одну вправо, начиная с команды над цифрой, которая находится в выбранном разряде в правильном числе Пи. Например, если выбран второй разряд после десятичной точки, правильная цифра в нем — 4, и таблица соответствия принимает следующий вид:
< > + — . , [ ] 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Теперь по нужной команде выбираем соответствующую ей цифру и заменяем на нее правильную в выбранном разряде. Результат записи программы — число, похожее на Пи, но местами отличающееся от него. Так, программа «Hello, World!», которая на Brainfuck записывается вот так:
Необычный даже для эзотерических языков, этот язык существует только в виде теоретического описания. Идея языка основана на известной теории о том, что в числе Пи можно найти любую информацию, если подобрать правильную кодировку. В данном случае Пи записывается в двоичном представлении
Исходный код программы на Another Pi Language представляет собой пару чисел: индекс бита, с которого следует начинать чтение, и количество байт, которые следует прочитать. Прочитанные байты переводятся в символы с соответствующими ASCII-кодами, и полученный текст интерпретируется как исходный код на каком-то другом языке (язык должен быть указан вместе с парой чисел).
Теоретически в числе Пи можно найти любую последовательность битов любой длины, то есть код любой, сколь угодно сложной программы. Этот язык даже будет Тьюринг-полным (поскольку на нем можно выполнить любое задание, которое можно выполнить на других языках). Другое дело, что по сложности программирования на нем он сможет поспорить сMalbolge. Впрочем, в отличие от Malbolge, «Hello, World!» на Another Pi Language пишется легко и изящно:
3 1 HQ9+
Для «интерпретации» этого кода:
читаем 1 байт, начиная с 3-го бита записи. Первая единица считается нулевым байтом, поэтому начинаем со второго нуля после запятой: 01001000;
переводим в десятичное число (72) и в символ с таким ASCII-кодом (H);
интерпретируем полученный символ как код программы на
HQ9+— а для этого замечательного языка это и есть команда вывода «Hello, World!» на печать. Удачно, правда?
Еще несколько примеров разной длины:
канонический пример «99 бутылок пива»
113 1 HQ9+ (9)
прочитать символ и вывести его же на печать 102168614(+-1) 2 Brainfuck (,.)
бесконечный цикл
3234901746(+-1) 3Boolfuck(*[])(последние два примера найдены с помощью сервисаSearch Pi)
Нечто среднее между инструментом разработки и философией создания новых языков программирования. Основан на идее расширяемости семантики и синтаксиса языков программирования средствами самих языков.
15.12.2009SciLab 5.1.1- пакет для математических расчетов, бесплатный аналог Matlab.
15.12.2009Maxima 5.19.2 Бесплатнаямощная система компьютерной алгебры, сравнимая по возможностям с Maple и Mathematica.
Булевы пифагоровы тройки
03.05.2016
Проблема Булевых пифагоровых троек решена суперкомпьютером
Stampede:
Команда ученых объявила о получении
решения математической
проблемы Булевых пифагоровых троек при
помощи суперкомпьютера Stampede Калифорнийского
университета. Объем решения - 200 ТБ.
Формулировка
задачи:
Возможно ли окрасить каждое положительное
натуральное число в красный или синий цвет, так, чтобы
тройка натуральных чисел a, b и c, удовлетворяющих теореме
Пифагора a2 +
b2 =
c2 не была бы окрашена в один и тот же цвет.
В
статье доказывается, что до числа 7824 все
пифагоровы тройки могут удовлетворять условию задачи.
Начиная с числа 7825 это становится уже невозможным.
Существует 102300 способов
окрасить тройки в разный цвет до числа 7825. Чтобы прийти к
такому решению, ученым понадобилось 2 дня машинного времени,
с работой 800 процессоров системы Stampede. После этого
решение было подтверждено при помощи другой компьютерной
программы. Проверка решения человеком невозможна.
Проблема Пифагоровых троек относится к Теории
Рамсея (раздел математики, изучающий условия, при
которых в произвольно формируемых математических объектах
обязан появиться некоторый порядок.
Задачи в теории Рамсея
обычно звучат в форме вопроса «сколько элементов должно быть
в некотором объекте, чтобы гарантированно выполнялось
заданное условие или существовала заданная структура».
Почему 7825?
Простые числа
07.01.2016 В Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS)найденоновое
рекордно большое простое число:
274207281-1
его персональное имя
M74207281
в нем22
338 618
разрядов (здесь
архив c текстовым файлом размером более 22MB, в котором записано
данное число)
оно почти на пять миллионов разрядов больше, чем предыдущее самое
большое простое числоM57885161
это
49-е число Мерсенна (названы в честь французского математика Марена Мерсенна,
исследовавшего свойства простых чисел в XVII
веке
это 15-е число Мерсенна найденное в проекте GIMPS.
Математическая константа ПИ ( 3.141592653589... ), выражающая отношение длины окружности к длине ее диаметра, является иррациональным числом, десятичное представление которого никогда не заканчивается и не является периодическим.