Числа делятся на четные, нечетные и почетные. К последним относятся зачастую мнимые числа.
Числа и цифры
Компьютер обрабатывает информацию представленную в числовой форме.
Число- математическая абстракция, используемая для количественной характеристики объектов.
Цифры — знаки для записи чисел.
Примеры цифр:
0 1 (двоичные цифры),
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (арабские цифры),
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F(шестнадцатеричные цифры),
I V X L C D M (римские цифры).
Числа строятся из цифр как слова из букв.
"Число" и "цифра": история слов
Число и цифра различаются по значению и происхождению.Число — единица счёта, выражающая количество (один дом, два дома, три дома и т.д.). Цифра — знак (символ), обозначающий значение числа.
***
Считали конкретные предметы: семь быков, две рыбы. Счёт вели на пальцах. В разговорной речи до сих пор услышишь: «Дай пять!» (подай руку). Говорили: «Дай пясть!» Слово пять имело конкретное значение — пять пальцев пясти (руки).
Числа на письме обозначали буквами. У славян буква А означала число «один» (Б не имело числового значения), В — два, Г — три, Д — четыре, Е — пять.
Во многих языках (древнегреческом, иврите, церковнославянском и др.) цифры и сейчас записываются буквами.
Не сразу стали осознавать, что числа независимы от предметов и лиц, которые подвергаются счёту: просто
число «два» или число «семь».
Появилось слово
число. В значении «счёт, величина, количество» его начали употреблять в русском языке с ХI века. Слово число использовали и для указания на дату, год. С ХIII века слово число стало обозначать ещё и дань, подать.
Наряду со словом число имело хождение существительноечисмя (прилагательное чисменый). В ХVI веке появился глагол числити — «считать».
В ХV веке в европейских странах получили распространение арабские цифры: специальные знаки для обозначения чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Их изобрели индийцы, а в Европу они попали благодаря арабам.
В русский язык (из европейских языков) пришло слово
цифра. Арабское по происхождению («сыфр»), оно первоначально означало - нуль, пустое место.
Леонардо Пизанский (1228) употребил для передачи арабского термина «сифр» слово zephirum (латинское слово zephyrus — зефир означало западный ветер).
Другой главный поборник индийской нумерации в Европе, Иордан Неморарий (1237), употребляет арабскую форму cifra.
С начала XVI века в немецких руководствах «нуль» входит в повсеместное употребление, а слово «цифра» получает современное значение .
В ХVIII в. слово цифра приобрело новое значение — знак числа. Совокупность цифр называлась цыфирь.
В наши дни слова число и цифра употребляются и в других значениях. Каких?
В разговорной речи слова число и цифра часто заменяют друг друга.
Слово количество (в русском языке с XI в.) образовано от старославянского слова колико — «сколько». Количество употребляется в применении ко всему, что поддаётся счёту и измерению.
Понятие системы счисления
Система счисления - способ записи чисел с помощью специальных знаков (цифр).
В основе всякой системы счисления лежит следующий принцип: некоторое определенное число единиц составляет одну единицу следующего высшего разряда.
Это число называется основанием системы счисления:
q=2 двоичная СС;
q=3 троичная СС;
q=10 десятичная СС;
q=12 двенадцатеричная СС;
….
q=60 шестидесятеричная СС и т.д.
Классификация систем счисления
Позиционные
Непозиционные
Вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.
Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения:
700+50+7+0,7==7*102+5*101+7*100+7*10-1=757,7
Значение каждой цифры зависит от ее положения (позиции) в числе.
В непозиционных системах вес цифры (т.е. вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа.
Так в римской СС в числе XXXII (32) вес цифры X в любой позиции равен просто десяти.
Значение цифры не зависит от места (позиции) в числе.
Запись чисел в разных системах счисления
Десятичная
Двоичная
Восьмеричная
Шестнадцатеричная
0
0
0
0
1
1
1
1
2
10
2
2
3
11
3
3
4
100
4
4
5
101
5
5
6
110
6
6
7
111
7
7
8
1000
10
8
9
1001
11
9
10
1010
12
А
11
1011
13
B
12
1100
14
C
13
1101
15
D
14
1110
16
E
15
1111
17
F
16
10000
20
10
17
10001
21
11
Системы счисления в компьютере
В компьютере чаще всего используется двоичная система счисления (все числа представлены с помощью только двух цифр: 0 и 1).
Один двоичный разряд (0 или 1) принят за единицу информации бит.
Восемь бит составляют один байт.
Для решения ряда задач используются восьмиричная система счисления(цифры 0, 1,...7) и шестнадцатеричная (кроме привычных 0,…9 в качестве цифр используются буквы A,B,C,D,E,F).
Ввод и вывод числовой информации осуществляется в удобной человеку десятеричной системе счисления, а их преобразование производит компьютер под управлением программ по специальному алгоритму.
Алгоритм преобразования:
При переводе десятичного числа в систему с основанием q (q = 2,8,16) его необходимо последовательно делить на q до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный q-1.
Число с основанием q записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего.
Для перевода чисел из одной системы счисления в другую удобно использовать стандартную программу Калькулятор (Вид:
Программист).
Запуск: Программы/Стандартные/Калькулятор.
.
Hex - шестнадцатеричная система счисления
Dec - десятеричная система счисления
Oct - восьмеричная система счисления
Bin - двоичная система счисления
Важное число 0
Ноль (нуль) (от лат. nullus — никакой) — название цифры в стандартных системах исчисления, а также математический знак, выражающий отсутствие значения данного разряда в записи числа в позиционной системе счисления.
Индийцы называли знак, обозначающий отсутствие какого-либо разряда в числе, словом «сунья», (пустой). Арабы перевели это слово по смыслу и получили слово «сыфр».
Первое достоверное свидетельство о записи нуля относится к 876 г. в Гвалиора (Индия). Индийцы вначале обозначали нуль точкой.
Термин nulla figura — никакой знак — появляется в рукописных латинских переводах и обработках арабских трудов в XII века.
Майя использовали ноль в своей двадцатиричной системе счисления почти на тысячелетие раньше индийцев. Первая сохранившаяся стела с датой календаря майя датируется 7.16.3.2.13, 6 Бен 16 Шуль (10 декабря 36 года до н. э.). Тем же самым знаком майянские математики обозначали и бесконечность.
В империи Тауантинсуйу, инки для записи числовой информации использовали узелковую система кипу, основанная на позиционной десятиричной системе счисления. Цифры от 1 до 9 обозначались узелками определённого вида, ноль — пропуском узелка в нужной позиции. В современном кечуа ноль обозначается словом кечуа ch'usaq (букв. «отсутствующий», «пустой»).
Слова ноль и нуль равноправны, но в некоторых устойчивых выражениях не взаимозаменяемы. Только нуль в выражениях: остричь под нуль; быть равным нулю; на улице на нуле; на нуле кто-что-нибудь, с нуля начинать (начать); сводить (сводиться); свести (свестись) к нулю; довести (доводить) до нуля; Тольконоль в выражениях: ноль-ноль, ноль внимания, ноль без палочки
Нуль и ноль в выражениях: абсолютный нуль (чаще о человеке) и абсолютный ноль (термин). Прилагательные нолевой и нулевой закреплены в устойчивых выражениях: нулевое окончание, нулевая стрижка.
Важное число π
Математическая константа ПИ ( 3.141592653589... ), выражающая отношение длины окружности к длине ее диаметра, является иррациональным числом, десятичное представление которого никогда не заканчивается и не является периодическим.
20.08.2009 Ученые из (Япония) установили рекорд точности вычисления числа ПИ: 2576 980 377 524 десятичных разрядов. Вычисления проводились на суперкомпьютере T2K Tsukuba System, оборудованном 640 процессорами Opteron с четырьмя ядрами, обеспечивающими суммарную производительность до 95 триллионов операций с плавающей запятой в секунду. На расчеты числа ушло 73 часа 36 минут.
11.01.2010 Француз Фабрис Белларза 103 дня вычислил число Пи с точностью - 2 699 999 990 000 на домашнем компьютере. Сначала Пи рассчитывалось в двоичной системе, после чего переводилось в десятичную. На это ушло около 13 дней. Для хранения всех цифр требуется 1,1 терабайта дискового пространства.
05.08.2010Американский студент Александр Йи (Alexander Yee) и японский исследователь Шигеру Кондо (Shigeru Kondo) рассчитали Пи с точностью в 5 триллионов цифр после запятой использовав специальное программное обеспечение и компьютер под управлением Windows Server 2008 R2. На расчёты ушло 90 дней.
14 марта - неофициальный праздник День числа ПИ (в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14, что соответствует приближенному значению константы).
Перед зданием Музея искусств в Сиэтле (США) установлен памятник числу ПИ.
Пи и e (основание экспоненты) являются трансцендентными числами, то есть не являются корнями никакого многочлена с целыми коэффициентами. При этом, однако, является ли сумма этих двух фундаментальных констант трансцендентным числом или нет - неизвестно до сих пор.
Pi Day Challenge 2011 — ежегодно обновляющаяся серия загадок, связанных с числом Пи.
Перевод числа Пив музыку
Американский музыкант
Майкл Блейк
(Michael
Blake)
перевел
числа Пи
и Тау (удвоенное Пи) на музыку. Блейк присвоил нотам от одной октавы до следующей
октавы номера от 1 до 8, затем взял запись числа с точностью до 126 знака
после запятой и проиграл ее в соответствии с выбранной кодировкой нот. Далее
музыкант аранжировал получившуюся мелодию.
Вkmp-mediaможно послушать мелодии чиселПи
(файл Translation of Tau.mpg4)
и
Тау
(файл Translation of
Pi.mpg4).
У Brainfuck множество диалектов практически на все случаи жизни, диалект Pi среди них тоже есть. Команды языка записываются в число Пи в виде неправильных цифр в случайных разрядах следующим образом.
Для каждой команды выбирается разряд, в который она будет записана (разряды упорядочены так же, как команды в исходном коде). Берется таблица соответствия команд и цифр
< > + — . , [ ] 0 1 2 3 4 5 6 7 8
и в ней строка команд сдвигается на одну вправо, начиная с команды над цифрой, которая находится в выбранном разряде в правильном числе Пи. Например, если выбран второй разряд после десятичной точки, правильная цифра в нем — 4, и таблица соответствия принимает следующий вид:
< > + — . , [ ] 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Теперь по нужной команде выбираем соответствующую ей цифру и заменяем на нее правильную в выбранном разряде. Результат записи программы — число, похожее на Пи, но местами отличающееся от него. Так, программа «Hello, World!», которая на Brainfuck записывается вот так:
Необычный даже для эзотерических языков, этот язык существует только в виде теоретического описания. Идея языка основана на известной теории о том, что в числе Пи можно найти любую информацию, если подобрать правильную кодировку. В данном случае Пи записывается в двоичном представлении
Исходный код программы на Another Pi Language представляет собой пару чисел: индекс бита, с которого следует начинать чтение, и количество байт, которые следует прочитать. Прочитанные байты переводятся в символы с соответствующими ASCII-кодами, и полученный текст интерпретируется как исходный код на каком-то другом языке (язык должен быть указан вместе с парой чисел).
Теоретически в числе Пи можно найти любую последовательность битов любой длины, то есть код любой, сколь угодно сложной программы. Этот язык даже будет Тьюринг-полным (поскольку на нем можно выполнить любое задание, которое можно выполнить на других языках). Другое дело, что по сложности программирования на нем он сможет поспорить сMalbolge. Впрочем, в отличие от Malbolge, «Hello, World!» на Another Pi Language пишется легко и изящно:
3 1 HQ9+
Для «интерпретации» этого кода:
читаем 1 байт, начиная с 3-го бита записи. Первая единица считается нулевым байтом, поэтому начинаем со второго нуля после запятой: 01001000;
переводим в десятичное число (72) и в символ с таким ASCII-кодом (H);
интерпретируем полученный символ как код программы на
HQ9+— а для этого замечательного языка это и есть команда вывода «Hello, World!» на печать. Удачно, правда?
Еще несколько примеров разной длины:
канонический пример «99 бутылок пива»
113 1 HQ9+ (9)
прочитать символ и вывести его же на печать 102168614(+-1) 2 Brainfuck (,.)
бесконечный цикл
3234901746(+-1) 3Boolfuck(*[])(последние два примера найдены с помощью сервисаSearch Pi)
Нечто среднее между инструментом разработки и философией создания новых языков программирования. Основан на идее расширяемости семантики и синтаксиса языков программирования средствами самих языков.
15.12.2009SciLab 5.1.1- пакет для математических расчетов, бесплатный аналог Matlab.
15.12.2009Maxima 5.19.2 Бесплатнаямощная система компьютерной алгебры, сравнимая по возможностям с Maple и Mathematica.
Булевы пифагоровы тройки
03.05.2016
Проблема Булевых пифагоровых троек решена суперкомпьютером
Stampede:
Команда ученых объявила о получении
решения математической
проблемы Булевых пифагоровых троек при
помощи суперкомпьютера Stampede Калифорнийского
университета. Объем решения - 200 ТБ.
Формулировка
задачи:
Возможно ли окрасить каждое положительное
натуральное число в красный или синий цвет, так, чтобы
тройка натуральных чисел a, b и c, удовлетворяющих теореме
Пифагора a2 +
b2 =
c2 не была бы окрашена в один и тот же цвет.
В
статье доказывается, что до числа 7824 все
пифагоровы тройки могут удовлетворять условию задачи.
Начиная с числа 7825 это становится уже невозможным.
Существует 102300 способов
окрасить тройки в разный цвет до числа 7825. Чтобы прийти к
такому решению, ученым понадобилось 2 дня машинного времени,
с работой 800 процессоров системы Stampede. После этого
решение было подтверждено при помощи другой компьютерной
программы. Проверка решения человеком невозможна.
Проблема Пифагоровых троек относится к Теории
Рамсея (раздел математики, изучающий условия, при
которых в произвольно формируемых математических объектах
обязан появиться некоторый порядок.
Задачи в теории Рамсея
обычно звучат в форме вопроса «сколько элементов должно быть
в некотором объекте, чтобы гарантированно выполнялось
заданное условие или существовала заданная структура».
Почему 7825?
Простые числа
07.01.2016 В Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS)найденоновое
рекордно большое простое число:
274207281-1
его персональное имя
M74207281
в нем22
338 618
разрядов (здесь
архив c текстовым файлом размером более 22MB, в котором записано
данное число)
оно почти на пять миллионов разрядов больше, чем предыдущее самое
большое простое числоM57885161
это
49-е число Мерсенна (названы в честь французского математика Марена Мерсенна,
исследовавшего свойства простых чисел в XVII
веке
это 15-е число Мерсенна найденное в проекте GIMPS.
Компьютер волонтёра
Джонатана Пейса(инженера
из Джермантауна, штат Теннесси,
США) вычислил самое большое известное простое число 277232917-1,
состоящее из 23
249 425 разрядов
26 декабря 2017 года. Новое простое число M77232917примерно на один миллион разрядов больше, чем предыдущее
рекордное простое число.
Проверка простоты заняла шесть дней безостановочных вычислений
на PC с процессором Intel i5-6600.
Джонатан Пейс
получил награду в $3 000.
Математическая константа ПИ ( 3.141592653589... ), выражающая отношение длины окружности к длине ее диаметра, является иррациональным числом, десятичное представление которого никогда не заканчивается и не является периодическим.