Решение задач оптимизации

1. Создайте документ MS Excel под именем вида Фамилия_Оптимизация.
2. Каждую из трех предложенных задач следует решать на отдельном листе рабочей книги, переименовав его в Фамилия_№задачи.
3. Каждый лист должен содержать:
   • Условие задачи
     
      
     
   • Далее - математическую модель задачи
     
     
     
     
   • И само решение с экранной копией диалогового окна "Поиск решения" , причем оформление должно быть доступным не только Вашему пониманию
     
     
     
     

Распределение задач по варантам

№ варианта
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
1.1	1.2	1.3	1.4	1.5	1.6	1.7	1.8	1.9	1.10	1.11	1.12	1.13	1.14
2.5	2.6	2.2	2.3	2.7	2.4	2.1	2.10	2.13	2.11	2.9	2.14	2.8	2.12
3.14	3.13	3.12	3.11	3.10	3.9	3.8	3.7	3.6	3.5	3.4	3.3	3.2	3.1

 

 

1. Задачи о рациональном использовании сырья

Постановка задачи 
Для производства трех видов продукции используется три вида сырья. Нормы затрат каждого из видов сырья на единицу продукции данного вида, запасы сырья, а также прибыль с единицы продукции приведены в таблицах вариантов. Определить план выпуска продукции для получения максимальной прибыли при заданном дополнительном ограничении.

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

1.9.

1.10.

1.11.

1.12.

1.13.

1.14.

2. Транспортные задачи (пример решения)

2.1. Имеются два мелькомбината I , II и три пекарни А, В, С. Производительность каждого из комбинатов равна 30 тонн. Потребность в муке каждой из пекарней А, В, С составляет 20 тонн. Стоимость перевозки 1 тонны муки с мелькомбината I в пекарни А, В, С равна соответственно 2, 5, 4 денежных единиц, с мелькомбината II – 1 , 3, 5 денежных единиц. Необходимо составить план перевозки муки, чтобы затраты на перевозку были минимальными.

2.2. В трех хранилищах А1, А2, А3 имеется соответственно 70, 90, 50 т топлива. Требуется спланировать перевозку топлива потребителям В1, В2, В3, В4, В5 спрос которых равен соответственно 50, 70, 40, 40, 10 т, так, чтобы затраты на транспортировку были минимальными. Стоимость перевозки указаны в таблице:

Хранилища	В1	В2	В3	В4	В5	Запас топлива
А1	5	2	3	6	0	70
А2	4	3	5	7	0	90
А3	2	4	1	5	0	50
Потребность	50	70	40	40	10	210

2.3. С трех складов А1, А2, А3 необходимо доставить овощи в пять торговых точек В1, В2, В3, В4, В5. Требуется закрепить склады за торговыми точками так, чтобы общая сумма затрат на перевозку была минимальной. Стоимость перевозок приведена в таблице:

Склады	В1	В2	В3	В4	В5	Объем вывоза
А1	7	3	5	4	2	40
А2	6	2	3	1	7	150
А3	3	5	2	6	4	100
Объем вывоза	20	80	90	60	40	290

2.4. Составить план первозок зерна из районов А1, А2, А3, А4 республики, в которых запасы соответственно 800, 700, 1000 и 500 тыс. ц, на три элеватора В1, В2 и В3 мощностью 1000, 1100 и 900 тыс. ц. Затраты на перевозку 1ц зерна из районов на элеваторы приведены в таблице:

Районы	В1	В2	В3	Запас
А1	3	5	6	800
А2	7	2	4	700
А3	4	3	5	1000
А4	6	4	7	500
Мощность элеватора	1000	1100	900	3000

2.5. Найти решение транспортной задачи, исходные данные которой приведены в таблице:

Пункты отправления	Пункты назначения					Запасы
	В1	В2	В3	В4	В5
А1	5	3	2	4	8	160
А2	7	6	5	3	1	90
А3	8	9	4	5	2	140
Потребности	90	60	80	70	90	390

2.6. Найти решение транспортной задачи, исходные данные которой приведены в таблице

Заводы	Бензохранилища				Производство
	В1	В2	В3	В4
А1	8	7	3	0	40
А2	2	4	9	1	80
А3	9	5	5	8	70
А4	3	4	9	11	40
Вместимость	40	60	50	80	230

2.7. С двух заводов А и В развозят бетон на три стройплощадки. Запасы завода А – 320 тонн, завода В – 380 тонн. Потребность стройплощадки I в бетоне 200 тонн, стройплощадки II – 280 тонн, стройплощадки III – 220 тонн. Стоимость перевозки одной тонны бетона с завода А на стройплощадку I – 2000 денежных единиц, на стройплощадку II – 4000 денежных единиц, на стройплощадку III – 6000 денежных единиц. Стоимость перевозки 1 тонны бетона с завода В на стройплощадку I – 5000 денежных единиц, на стройплощадку II – 5000 денежных единиц, на стройплощадку III – 3000 денежных единиц. Как спланировать снабжение стройплощадок так, чтобы затраты на перевозку были наименьшими?

2.8. Перевозится однородный груз из двух пунктов А и В к трем местам назначения – I , II , III . Ежедневно отправляется 65 тонн. В том числе из пункта А – 40 тонн, из В – 25 тонн. В пункты назначения должны поступить следующие количества груза: в пункт I – 10 тонн, во II – 35 тонн, в III – 20 тонн. Расстояние от пункта А до пунктов I , II , III равны соответственно 7, 2 и 4 км . Расстояние от пункта В до пунктов I , II , III равны соответственно 3, 8 и 9 км . Требуется составить план перевозки, обеспечивающий наименьший общий пробег грузов в тонно-километрах.

2.9. В пунктах А и В расположены кирпичные заводы, а в пунктах С и Д – карьеры, снабжающие их песком. Потребность заводов в песке не больше производительности карьеров и равна соответственно 40 и 50 тонн. Количество добываемого песка в каждом из карьеров и стоимость перевозки (в денежных единицах) одной тонны песка из каждого карьера к заводам представлены в виде таблицы

Карьеры	Заводы		Количество добываемого песка
	А	В
С	2	6	70 тонн
Д	5	3	20 тонн

Как спланировать снабжение заводов песком, чтобы затраты были наименьшими?

2.10. Есть два пункта производства однородного продукта и пункты потребления М, Р и К, которым необходимо 15, 20, 10 единиц этого продукта. Первый пункт производит 25 единиц продукции, второй пункт – 20 единиц. Стоимость доставки единицы продукции в пункты потребления определена таблицей:

	М	Р	К
1 пункт	1	3	5
2 пункт	2	4	3

Составить план распределения продукта при минимальных затратах.

2.11. Имеется два склада готовой продукции и три потребителя этой продукции. Склад I располагает 10 000 единиц продукции, а склад II – 5000 единиц продукции. Потребителям нужно соответственно: I –4000 единиц, II – 8000 единиц, III - 3000 единиц. Стоимость доставки единицы продукции с каждого склада каждому потребителю определена следующей таблицей:

	1 потребитель	2 потребитель	3 потребитель
I склад	3	3	2
II склад	6	5	1

Составить такой план перевозок, который соответствует минимальной суммарной стоимости.

2.12. На трех складах ( I , II , III ) имеются соответственно 90, 70, 50 тонн муки, которую надо перевезти в магазины – 1, 2, 3, 4 соответственно в количестве 80, 60, 40, 30 тонн. Необходимо составить оптимальный план перевозки муки, если стоимость перевозки одной тонны в магазины 1. 2, 3, 4 со склада I равна соответственно 2, 1, 3, 2 денежных единицы, со склада II равна соответственно 2, 3, 3, 1 денежных единицы, со склада III равна соответственно 3, , 3, 2, 1 денежных единицы.

2.13. В некоторой местности в двух пунктах А и В имеется потребность в дополнительном транспорте. В пункте А требуется 5 дополнительных автобусов, а в пункте В- 7. Известно, что 3, 4, 5 автобусов могут быть получены соответственно из гаражей G1, G2, G3. 
Как следует распределить эти автобусы между пунктами А и В, чтобы минимизировать их суммарный пробег? Расстояния от гаражей до пунктов А и В приведены в таблице:

Гараж	Расстояния до пунктов
	А	В
G1	3	4
G2	1	3
G3	4	2

2.14. Три поставщика одного и того же продукта располагают в планируемый период следующими запасами этого продукта: первый- 120 условных единиц, второй- 100 и третий 80 единиц. Этот продукт должен быть перевезен к трем потребителям, спросы которых соответственно равны 90, 90 и 120 условных единиц. Приведенная ниже таблица содержит показатели затрат, связанных с перевозкой продукта из i-го пункта отправления в j-й пункт потребления.

Поставщики	Потребители и их спрос			Запасы
	А	Б	В
I	7	6	4	120
II	3	8	5	100
III	2	3	7	80
Спрос	90	90	120

Требуется перевезти продукт с минимальными затратами.

 

3. Разные задачи

3.1. В малом предприятии по пошиву одежды освоили пошив двух новых видов плащей и костюмов. На их пошив требуется два вида материала I и II . В запасе имеется материала I – 1027 м , материала II – 1170 м . Расход материалов (м) на каждое изделие представлен таблицей:

Изделие	I	II
Плащ	1,5	1
Костюм	2,7	0,8

От продажи одного плаща предприятие получает доход в 9 денежных единиц, а от продажи костюма – 8 денежных единиц. Сколько плащей и костюмов следует сшить предприятию, чтобы доход был наибольшим?

3.2. Фирма производит две модели А и В сборных книжных полок. Их производство ограничено наличием сырья (высококачественных досок) и временем машинной обработки. Для каждого изделия модели А требуется 3 м2 досок, а для изделия В- 4 м2. Фирма может получить от своих поставщиков до 1700 м2. досок в неделю. Для каждого изделия модели А требуется 12 мин. машинного времени, а для изделия модели В- 30 мин. В неделю можно использовать 160 ч. машинного времени. Сколько изделий каждой модели следует выпускать в неделю, если каждое изделие модели А приносит 2 ден. ед. прибыли, а каждое изделие модели В - 4 ден. ед. прибыли?

3.3. Намечается выпуск двух типов костюмов - мужских и женских. На женский костюм требуется один метр шерсти, 2 м. лавсана и 1 человеко-день трудозатрат; для мужского костюма- 3,5 м. шерсти 0,5 м. лавсана и тоже 1 человеко-день трудозатрат. На пошив этих костюмов имеется 350 м. шерсти, 240 м. лавсана и 150 человеко-дней трудозатрат. По плану костюмов не должно быть менее 110 штук и необходимо обеспечить прибыль не менее 1400 руб. Требуется определить оптимальное число костюмов каждого вида, обеспечивающее максимальную прибыль, если прибыль от реализации женского костюма составляет 10 руб. а от мужского- 20 руб.

3.4. Для откорма животных на ферме в их еженедельный рацион необходимо включать не менее 32 единиц питательного вещества А и 23 единицы питательного вещества В. Для откорма используют два вида кормов. Данные о содержании питательных веществ и стоимость весовой единицы каждого из кормов помещены в таблице:

В одной весовой единице	А	В	Стоимость одной весовой единицы
Корма 1	4 у.е.	3 у.е.	20 ден. ед.
Корма 2	3 у.е.	2 у.е.	25 ден. ед.

Составить наиболее дешевый рацион, при котором каждое животное получило бы необходимое количество питательных веществ.

3.5. На фабрике освоили производство столов и тумбочек для торговой сети. Для их изготовления имеются два вида древесины: I – 72 м3, II – 56 м3. На каждое изделие требуется того и другого вида древесины (м3):

Изделие	I	II
Стол	0,18	0,08
Тумбочка	0,09	0,29

От производства одного стола фабрика получает чистый доход в 1,1 у.е., а от производства одной тумбочки – 0,7 у.е. Определить, сколько столов и тумбочек должна производить фабрика из имеющегося материала, чтобы обеспечить наибольший доход.

3.6. Для откорма животных употребляют два корма: 1 и 2. Стоимость одного килограмма корма 1- 5 руб., корма 2- 2 руб. В каждом килограмме корма 1 содержится 5 ед. витамина А, 2,5 ед. витамина В и 1 ед. витамина С. В каждом килограмме корма 2 содержится 3 ед. витамина А, 3 ед. витамина В и 1 ед. витамина С. Какое количество корма каждого вида необходимо расходовать ежедневно, чтобы затраты на откорм были минимальными, если суточный рацион предусматривает не менее 225 питательных единиц витамина А, не менее 150 ед. витамина В и не менее 80 ед. витамина С?

3.7. Содержание витаминов А и С в одном килограмме фруктов задано следующей таблицей:

Фрукты	Витамины
	А (мг)	С (мг)
Вишня	3	150
абрикосы	24	75

Сколько граммов вишни и сколько граммов абрикосов следует включить в дневной рацион, чтобы в нем оказалось не менее 6 мг витамина А и не менее 75 мг витамина С при минимальных затратах, если 1 кг вишни стоит 25 у.е., а 1 кг абрикосов – 30 у.е.?

3.8. Изготовление продукции двух видов А и В требует использования 4 видов сырья I , II , III и IV . Запас сырья ограничен и составляет соответственно 19, 13, 15 и 19 единиц. На производство 1 единицы продукции вида А необходимо 2 единицы сырья I , 2 - II , 0 - III и 3 - IV . На производство 1 единицы продукции вида В необходимо 3 единицы сырья I , 1 - II , 3 - III и 0 - IV . Доход от продажи 1 единицы продукции А составляет 7 денежных единиц, от продажи 1 единицы продукции В составляет 5 денежных единиц. Составить такой план выпуска продукции, при котором доход предприятия от реализации продукции оказался бы максимальным.

3.9. Предприятие располагает ресурсами двух видов в количестве 120 и 80 ед. соответственно. Эти ресурсы используются для выпуска продукции I и II, причем расход на изготовление единицы продукции первого вида составляет 2 ед. ресурса первого вида и 2 ед. ресурса второго вида, единицы продукции второго вида- 3 ед. ресурса первого вида и 1 ед. ресурса второго вида. Прибыль от реализации единицы продукции первого вида составляет 600 руб., второго вида- 400 руб. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий наибольшую прибыль, при условии, что продукции первого вида должно быть выпущено не менее продукции второго вида.

3.10. На участке работает 20 человек. Каждый из них в среднем за год работает 1800 часов. Выделенные ресурсы: 32 т металла, 54 тыс. квтч электроэнергии. План по реализации продукции: не менее 2 тыс. изделий А и не менее 3 тыс. изделий В. На выпуск 1 тыс. изделий А затрачивается 3 т металла, 3 тыс. Квтч электроэнергии и 3 тыс. часов рабочего времени. На выпуск 1 тыс. изделий В затрачивается 1 т металла, 6 тыс. Квтч электроэнергии и 3 тыс. часов рабочего времени. От реализации 1 тыс. изделий А завод получает прибыль 500 тыс. у.е., от реализации 1 тыс. изделий В – 700 тыс. у.е. Выпуск какого количества изделий А и В (в тыс. штук) надо запланировать, чтобы прибыль от их реализации была наибольшей?

3.11. Требуется составить смесь, содержащую три химических вещества А, В, С. Известно, что составленная смесь должна содержать вещества А не менее 6 единиц, вещества В не менее 8 единиц, вещества С не менее 12 единиц. Вещества А, В, С содержатся в двух видах продуктов I , II в концентрации, указанной в таблице:

продукты	Химические вещества
	А	В	С
I	2	1	3
II	1	2	4

Стоимость единицы продукта I стоит 200 у.е., единицы II - 300 у.е. Смесь надо составить так, чтобы стоимость используемых продуктов была наименьшей.

3.12. Изделия А и В в процессе своего изготовления последовательно проходят три станка I , II, III. На обработку изделия А станок I затрачивает 18 часов, второй – 12 часов, третий – 6 часов. На обработку изделия В станок I затрачивает 6 часов, второй – 12 часов, третий – 12 часов. Станок I может работать не более 84 часов, второй – не более 72 часов, а третий – не более 54 часов. От реализации единицы изделия А завод получает прибыль 180 денежных единиц, от реализации единицы изделия В завод получает прибыль 120 денежных единиц. Требуется спланировать выпуск изделий А и В так, чтобы прибыль от их реализации была наибольшей.

3.13.На заводе используется сталь трех марок: А, В и С, запасы которых соответственно равны 10, 16, и 12 ед. Завод выпускает два вида изделий. Для изделия I требуется по одной единице стали всех марок. Для изделия II требуется 2 единицы стали марки В, одна- марки С и не требуется сталь марки А. От реализации единицы изделия вида I завод получает 300 руб. прибыли, вида II- 200 руб. Составить план выпуска продукции, дающий наибольшую прибыль.

3.14. Предприятие электронной промышленности выпускает две модели радиоприемников, причем каждая модель производится на отдельной технологической линии. Суточный объем производства первой линии — 60 изделий, второй линии — 75 изделий. На радиоприемник первой модели расходуется 10 однотипных элементов электронных схем, на радиоприемник второй модели — 8 таких же элементов. Максимальный суточный запас используемых элементов равен 800 единицам. Прибыль от реализации одного радиоприемника первой и второй моделей равна 30 и 20 долларов, соответственно. Определить оптимальный суточный объем производства первой и второй моделей.