2.Перевод из одной системы счисления в другую и простейшие арифметические операции.

Перевод целых чисел.

Пусть A_ц- целое десятичное число. Тогда в его разложении отсутствуют коэффициенты с отрицательными индексами, и его можно представить в виде:

A_ц=a_n-1*2^n-1+a_n-2*2^n-2+...+a₀*2⁰

Разделим число A_ц на 2. Частное будет равно

a_n-1*2^n-2+...+a¹

а остаток равен a₀

Полученное неполное частное опять разделим на 2, остаток от деления будет равен a₁

Если продолжить процесс деления, то на n-м шаге получим набор цифр

a₀, a₁, a₂..., a_n-1

которые входят в двоичное представление числа A_ц и совпадают с остатками при последовательном делении данного числа на 2. Но мы их получили в порядке, обратном порядку расположения числа A_ц:

A_ц=a_n-1a_n-2...a₁a₀

Пример: Перевести десятичное число 11 в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) удобнее изобразить так:

Записывая остатки от деления в направлении, указанном стрелкой, получим:11₁₀=1011₂

Перевод дробных чисел.

1)Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе и все последующие действия производить в десятичной системе счисления;

2)последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основе новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой системе счисления;

3)полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;

4)составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Пример: Перевести десятичную дробь 0,1875 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы.

Здесь вертикальная черта отделяет целые части чисел от дробных частей.
Отсюда: 0.1875₁₀=0.0011₂=0.14₈=0.3₁₆

Перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно.

При переводе в восьмеричную систему счисления двоичное число разбиваем на группы по 3 цифры справа налево начиная с младшего разряда.

Затем каждую тройку цифр заменяем соответственно цифрой восьмеричной системы счисления.

Дробную часть разбиваем от запятой вправо на группы по 3 цифры.

Обратный переход - от восьмеричной системы счисления к двоичной - осуществляется заменой каждой восьмеричной цифры ее двоичным эквивалентом (тремя двоичными цифрами).

Для шестнадцатеричной системы счисления - четырьмя двоичными цифрами.

Таблицы переводов
Двоичная - восьмеричная

Двоичная - шестнадцатеричная

Примеры:
1) Переведите двоичные числа в восьмеричную ситему счисления.
a)
б)

2) Переведите двоичные числа в шестнадцатеричную систему счисления.
a)
б)

Перевод смешанных чисел.

Перевод смешанных чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Целая и дробная части исходного числа переводятся отдельно по соответствующим алгоритмам. В итоговой записи числа в новой системе счисления целая часть отделяется от дробной запятой (точкой).

Пример: Перевести десятичное число 315,1875 в восьмеричную и в шестнадцатеричную системы счисления. Из рассмотренных выше примеров следует: 315.1875₁₀=473.14₈=13B.3₁₆ .

Основные арифметические операции:

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание,умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны - это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.

Сложение

Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.

Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.

Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75.

Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,25₁₀ = 11001001,01₂ = 311,2₈ = C9,4₁₆

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:
11001001,01₂ = 2⁷ + 2⁶ + 2³ + 2⁰ + 2^-2 = 201,25
311,2₈ = 3*8² + 1•8¹ + 1*8⁰ + 2*8^-1 = 201,25
C9,4₁₆ = 12*16¹ + 9*16⁰ + 4*16^-1 = 201,25

Вычитание

Пример 1. Вычтем единицу из чисел 10₂, 10₈ и 10₁₆

Пример 2. Вычтем единицу из чисел 100₂, 100₈ и 100₁₆.

Пример 3. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.

Ответ: 201,25₁₀ – 59,75₁₀ = 141,5₁₀ = 10001101,1₂ = 215,4₈ = 8D,8₁₆.

Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:
10001101,1₂ = 2⁷ + 2³ + 2² + 2⁰ + 2^–1 = 141,5;
215,4₈ = 2*8² + 1*8¹ + 5*8⁰ + 4*8^–1 = 141,5;
8D,8₁₆ = 8*16¹ + D*16⁰ + 8*16^–1 = 141,5.

Умножение

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

Пример1. Перемножим числа 5 и 6.

Ответ: 5*6 = 30₁₀ = 11110₂ = 36₈.

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

11110₂ = 2⁴ + 2³ + 2² + 2¹ = 30;
36₈ = 3•8¹ + 6•8⁰ = 30.

Пример 2. Перемножим числа 115 и 51.

Ответ: 115*51 = 5865₁₀ = 1011011101001₂ = 13351₈.

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

1011011101001₂ = 2¹² + 2¹⁰ + 2⁹ + 2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2³ + 2⁰ = 5865;
13351₈ = 1*8⁴ + 3*8³ + 3*8² + 5*8¹ + 1*8⁰ = 5865.

Деление

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

Пример 1. Разделим число 30 на число 6.

Ответ: 30 : 6 = 5₁₀ = 101₂ = 5₈.

Пример 2. Разделим число 5865 на число 115.

Восьмеричная: 13351₈ :163₈

Ответ: 5865 : 115 = 51₁₀ = 110011₂ = 63₈.

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:

110011₂ = 2⁵ + 2⁴ + 2¹ + 2⁰ = 51; 63₈ = 6*8¹ + 3*8⁰ = 51.

Пример 3. Разделим число 35 на число 14.

Восьмеричная: 43₈ : 16₈

Ответ: 35 : 14 = 2,5₁₀ = 10,1₂ = 2,4₈.

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:

10,1₂ = 2¹ + 2 ^-1 = 2,5;

2,4₈ = 2*8⁰ + 4*8^-1 = 2,5.

Далее