1.Общие сведения.

Взгляните на эти действия:
2 х 2 = 11
5 х 5 = 31
56 : 9 = 9
10 - 1 = 1
9 + 1= А

Такие записи кажутся странными. А ведь это правильные операции, только выполнены они в различных системах счисления, отличных от наиболее широко применяемой десятичной, - в троичной, восьмеричной, пятнадцатиричной, двоичной и, наконец, в шестнадцатеричной.

Развитие систем счисления происходило параллельно развитию самой цивилизации. Не знакомые современному школьнику системы - египетская и вавилонская, греческая и китайская (так например, индейцы племени майя пользовались весьма замысловатой системой счисления. В ней единица второго разряда равна 5, единица третьего – 4 единицам второго разряда, четвертого – 18 единицам третьего, а единица каждого последующего разряда – 20 единицам предыдущего)- сменились римской и десятичной.

Компьютер, счеты, арифмометр, калькулятор призваны считать, т. е. производить действия над числами.

Но чтобы производить действия над числами, сами числа надо как-то обозначать. Можно, конечно, для каждого нового числа придумывать новое обозначение. Пока люди знали мало чисел, они так и поступали.
Например, в языке туземцев островов Торресова пролива всего два числительных: "урапун" и "окоза". И чисел у них всего лишь семь: "урапун", "окоза", "окоза-урапун", "окоза-окоза", "окоза-окоза-урапун", "окоза-окоза-окоза", "много". (И не стоит над этим смеяться. Приведите-ка примеры русских пословиц и поговорок, в которых слово "семь" тоже является синонимом слова "много".)

Нецивилизованными племена, потребности которых в счете, как правило, не выходили за рамки первого десятка, стали использовать единичную систему счисления. Простейшая, но абсолютно неудобная система счисления. Основана на единственной цифре – единице (палочке). Позволяет записывать только натуральные числа. Чтобы представить число в этой системе счисления нужно записать столько палочек, каково само число. Чисто формально единичную систему счисления можно отнести к числу основных (с основанием 1). Но, в отличие от остальных основных систем счисления, считать ее позиционной можно лишь с очень сильной натяжкой, а универсальной она вообще не является (в ней нельзя представить ноль, дроби и отрицательные числа).

Когда люди осознали, что чисел много, они стали изобретать способы записи чисел. Способ записи чисел называют нумерацией или, по-другому, системой счисления. Итак, система счисления — способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

У разных народов были разные нумерации. Так у славян тоже была своя система счисления. Буквам старой славянской азбуки были присвоены цифровые значения: от 1 до 10, затем через 10 до 100 и через 100 до 1000. Используя не более трех букв можно было записать любое натуральное число от 1 до 1110.

Вы наверняка слышали, например, о римской нумерации. Она и сейчас часто используется для обозначения исторических дат (мы пишем, к примеру, XX век) или важных событий (скажем, XXV Олимпийские игры). Римская система счисления представлена с помощью семи цифр – I=1 , V=5 , X=10 , L=50 , C=100 , D=500 , M=1000 – можно весьма успешно и довольно выразительно представлять натуральные числа в диапазоне до нескольких тысяч.

Но попробуйте-ка перемножить в этой нумерации LXXXVIII на XXV (то бишь 88 на 25), не переходя к привычной нам записи чисел! А ведь 88 умножить на 25 можно и устно. И все это благодаря замечательному изобретению человечества - позиционной системе счисления. Давайте познакомимся с ней поближе.

Начнем с простого. Рассмотрим три числа: 298, 829 и 982. Эти числа, разумеется, различны, хотя в их записи участвуют одни и те же цифры. Различаются же записи расположением цифр, иными словами, тем, какую позицию занимает та или иная цифра. Отсюда и пошло название такой нумерации - позиционная.

Позиционная система счисления — система счисления, в которой вес цифры меняется с изменением положения цифры в числе, но при этом полностью определяется  написанием цифры и местом, которое она занимает. В частности, это означает, что вес цифры не зависит от значений окружающих ее цифр.

Позицию, которую занимает цифра, называют разрядом числа, и вы, конечно, знаете, что единица каждого следующего разряда в 10 раз больше единицы предыдущего разряда. За это свойство нумерацию, которой мы обычно пользуемся, называют десятичной.

 Непозиционная система счисления — система счисления, в которой вес цифры не зависит от ее положения.

В истории человечества существовали и другие нумерации: двенадцатеричная (до сих пор посуду считают дюжинами), шестидесятеричная (60 секунд в минуте, 60 минут в часе).

Победила десятичная. Может, потому, что у человека обычно было 10 пальцев, которые он использовал для счета.

Если мы пользуемся десятичной позиционной нумерацией, то для записи любого (сколь угодно большого) числа нам достаточно иметь в распоряжении десять различных значков-цифр. Если бы мы пользовались пятеричной нумерацией, то нам бы хватило пяти цифр (ведь число "пять" изображается уже единицей следующего разряда, и в такой нумерации оно записывается как 10).

Зато в двадцатеричной системе счисления потребовалось бы 20 цифр. (Подумайте-ка, на что намекает тот факт, что в нашем языке есть число одиннадцать, а нет сочетания десять один, хотя мы говорим двадцать один.)

Главное же удобство позиционной нумерации состоит в том, что действия над числами в такой системе счисления выполняются поразрядно (вспомните, как вы складываете и умножаете, вычитаете и делите многозначные числа в десятичной системе).

Далее